Selamat Datang

Minggu, 10 Februari 2013

Macam-Macam Bilangan Dalam Matematika


Dalam matematika kita mengenal adanya berbagai macam jenis bilangan. Ada beberapa macam himpunan bilangan yang dikenal seperti bilangan bulat (integer), bilangan riil (real / floating point number), bilangan imajiner (imaginary) dll . Kita akan membahas macam bilangan tersebut satu-persatu.



Bilangan asli
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, …}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, …}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera besar (Inggris: apes) juga bisa menangkapnya.


Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Himpunan bilangan asli  diberi lambang  N (berasal dari kata Natural dalam bahasa Inggris yang berarti “alami”), jadi
N = {1, 2, 3, 4, …………}
Bilangan bulat
Bilangan bulat terdiri dari bilangan asli ( 1, 2, 3, …), bentuk negatifnya (-1, -2, -3, …) dan bilangan nol.  Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Jika ditinjau dari segi nama, bilangan bulat pasti sesuatu yang bulat. Maksudnya bilangan ini adalah bilangan utuh.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z, berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).
Sifat-sifat
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
Contoh:
2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat.
2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negatif
2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif
sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.
Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:
4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.

Bilangan Cacah
Bilangan cacah sebenarnya merupakan anggota himpunan bilangan bulat. Bilangan cacah merupakan bilangan bulat dengan nilai tak negatif. Sehingga anggota bilangan cacah adalah {0,1,2,3,4,…} . Kenapa dinamakan sebagai bilangan cacah? Karena fungsi bilangan ini untuk mencacah atau menghitung banyaknya jumlah benda. Setidaknya begitulah dalam pemikiran saya :P
Bilangan rasional
Dalam matematika, bilangan rasional adalah bilangan yang   dapat dinyatakan sebagai bentuk  a / b  , di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Bilangan  Rasional  diberi lambang : Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).
Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  6 dapat dinyatakan sebagai: 12 / 2 atau 30 / 15 dan sebagainya.
Bilangan irrasional
Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional. Maksudnya adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk  a / b di mana a dan b   adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh:
p = 3,141592653358……..    (desimalnya tidak  beraturan/tidak berulang)
e  = 2,71828281284590…….   (desimalnya tidak  beraturan/tidak berulang)
akar 2 = 1,4142135623……..    (desimalnya tidak  beraturan/tidak berulang
Bilangan riil
Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah / scientific notation bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Okelah kita nggak usah meributkan perbedaan itu. Yang penting kita tahu dan mengerti maksud dari bilangan riil. Bilangan real merupakan gabungan bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan akar2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.
Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (pasti udah bisa nebak, simbol R berasal dari kata “Real”).
Sifat-sifat
Himpunan R tertutup untuk semua operasi. Artinya bilangan riil yang dioperasikan akan menghasilkan bilangan riil juga
Contoh:
2,5 x 3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah bilangan riil, 3.7 adalah bilangan riil dan 9,25 adalah bilangan riil.
2,5 – 3,7 akan menghasilkan -1,2 dengan -1,2 adalah bilangan riil negatif (dalam kasus 2,5 – 3,5 dihasilkan nilai -1,0)
2,5 + 3,7 akan menghasilkan 6,2 dengan 6,2 adalah bilangan riil positif
2,5 / 3,7 akan menghasilkan 0,675 dimana 0,675 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.
Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:
4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.
Bilangan riil sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman
Bilangan riil (real atau floating point) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama real. Dalam alokasi memori, real memerlukan 6 byte (48 bit) data di memori. Namun karena real “juga” didefinisikan sebagai type data signed tipe data real hanya mampu di-assign nilai antara 2.9 x 10^-39 s/d 1.7 x10^38.

SKEMA BILANGAN




Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat  akar dari i  = −1. Dapat juga dikatakan dengan suatu bilangan yang dikuadratkan dapat menghasilkan nilai -1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan kompleks mempunyai bagian bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:
x^2 +1=0
yang jika dijabarkan bahwa persamaan tersebut benar jika x^2 merupakan -1. Kita menyimbolkan akar dari -1 sebagai i (dari kata imajiner) sebagai satuan bilangan imajiner.
Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di bidang teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisa gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x.
Bilangan kompleks
Dalam matematika, bilangan kompleks merupakan himpunan pasangan terurut (a,b) yang memiliki bentuk :

a+bi
dimana a dan b adalah bilangan riil atau terdefinisi nyata (bilangan nyata), dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat akar dua dari i = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

2 komentar:

  1. Terima kasih, sangat bermanfaat. Jangan lupa kunjungi blog saya juga justmeshela.blogspot.com

    BalasHapus